6.2 金属度-粗糙度工作流
6.1 的 BRDF 里有四个参数：$\alpha$、$F_0$，再加上反照率。美术不可能逐个去调它们，所以实时管线把它们压成两个通道——基础色（base color）和粗糙度（roughness），金属度（metalness）通常只是一个 0/1 的开关或一张黑白遮罩。那篇讲实时 PBR 与阴影贴图的工程实现见 实时 PBR 与阴影贴图 ；本节把这两个通道到 BRDF 参数的映射写成整数，并量出它对高光形状的影响。
基础色的两重身份
同一张贴图，在不同金属度下读法完全不同：
- 绝缘体（metalness $=0$，如塑料、木头）：基础色是漫反射反照率，镜面项固定取 $F_0=0.04$。
- 金属（metalness $=1$，如铁、金）：金属没有漫反射——入射光要么被反射要么被吸收，不存在次表面散射——所以漫反射反照率为 0，基础色直接当镜面 $F_0$。
中间值用线性插值：
$$ \text{albedo}=(1-m)\cdot\text{base},\qquad F_0=0.04+m\cdot(\text{base}-0.04) $$
用基础色 RGB $(220,90,70)$ 扫一遍金属度：
| $m$ | 漫反射 albedo | $F_0$ |
|---|---|---|
| 0 | $(220,90,70)$ | $(0.040,0.040,0.040)$ |
| 0.25 | $(165,67,52)$ | $(0.246,0.118,0.099)$ |
| 0.5 | $(110,45,35)$ | $(0.451,0.196,0.157)$ |
| 0.75 | $(55,22,17)$ | $(0.657,0.275,0.216)$ |
| 1 | $(0,0,0)$ | $(0.863,0.353,0.275)$ |
这条插值带来一个常被忽略的后果：金属的 $F_0$ 是有颜色的（红通道 0.863、绿 0.353、蓝 0.275），所以金属的高光带色；而绝缘体的 $F_0$ 是灰色的 0.04，高光永远不带色。看到"金色高光"和"塑料白高光"的差别，来源就在这一列。
粗糙度到 alpha
GGX 的 $\alpha$ 不是粗糙度本身。工业界统一用平方映射：
$$ \alpha=\text{roughness}^2 $$
平方让粗糙度滑块的手感线性化——$D$ 的形状对 $\alpha$ 高度非线性，直接拿粗糙度当 $\alpha$ 会让滑块前 90% 几乎没变化、最后 10% 突然从镜面糊成一片。平方之后 $\alpha$ 的取值范围被压缩到低端，正好对上人眼对高光宽度的感知。
整数里还有一道额外的下夹。粗糙度 0 意味着完美镜面，$\alpha=0$、$\alpha^2=0$，6.1 的 ggx_d 会立刻除零；Q16.16 里 $\alpha^2$ 最小能表示 $26/65536\approx4\times10^{-4}$，对应 $\alpha\approx0.02$。所以本节把 $\alpha$ 下夹到 1311/65536 = 0.020。这不是近似，是定点表示的硬下限：再小的 $\alpha$ 在这个格式里根本不存在。
参数扫描：强度掉得比宽度涨得快
扫描取五个粗糙度档，每档量三个数：NDF 峰值 $D(0)=1/(\pi\alpha^2)$（高光强度）、NDF 半高角（高光宽度）、镜面方向上的实测 $f_s$。
半高角是解 $D(n\cdot h)=D(1)/2$ 得到的。把 $D(1)=1/(\pi\alpha^2)$ 代进去，令 $t=\sqrt2,\alpha^2$，再代回 $t=(n\cdot h)^2(\alpha^2-1)+1$：
$$ (n\cdot h)^2_{\text{半高}}=\frac{\sqrt2,\alpha^2-1}{\alpha^2-1},\qquad \theta_{\text{半高}}=\arcsin\sqrt{1-(n\cdot h)^2_{\text{半高}}} $$
$\alpha=1$ 时 $D$ 是常数，整个半球都在半高以内，半高角退化成 90 度——这不是数值故障，而是"完全粗糙"的准确含义。
为什么不用 $f_s$ 的半高全宽？ 因为高光越糙，$f_s$ 里那个 $1/\big(4(n\cdot l)(n\cdot v)\big)$ 因子越把能量推向掠射，$f_s$ 的全局峰会从镜面方向一路跑到地平线上去，半高全宽就不再是"高光宽度"了。NDF 的半高角只描述分布本身，与观察方向无关，才是可比的宽度口径。6.1 已经量到过这个偏移（峰在 $\sin=-0.5312$ 而不是 $-0.5$），到了粗糙端它会彻底吃掉峰位。
实测
#!/usr/bin/env python3
# file: lantern/sim/cg_shade_06_2_metalness.py
# tier: S
# verify: /opt/homebrew/bin/python3 sim/cg_shade_06_2_metalness.py
"""6.2 金属度-粗糙度工作流：基础色的两重身份、粗糙度到 alpha 的映射、参数扫描。
1. 粗糙度 -> alpha = roughness^2 -> alpha^2；roughness = 0 是完美镜面，alpha 下夹到
0.02——Q16.16 里 alpha^2 再小会下溢成 0，NDF 直接除零，这是定点表示的硬下限。
2. 基础色的两重身份：绝缘体时它是漫反射 albedo（乘 1-m），金属时它是镜面 F0。
3. 粗糙度扫描 {0, 0.25, 0.5, 0.75, 1}：NDF 峰值（强度）+ NDF 半高角（宽度）
+ 镜面方向实测 f_s。宽度用半高角而不是 f_s 的半高全宽——高光越糙，f_s 的
1/(4 (n·l)(n·v)) 因子越把能量推向掠射，f_s 的全局峰会跑到地平线上去，
半高全宽就不再是「高光宽度」了。
产物：out/cg_shade_06_2_sweep.csv、out/cg_shade_06_2_metal.csv、
out/cg_shade_06_2_sweep.svg、out/cg_shade_06_2_metalness.json。
"""
import json
import os
import sys
sys.path.insert(0, os.path.dirname(os.path.abspath(__file__)))
import cglib # noqa: E402
from cg_shade_06_pbr import ggx_d, lobe # noqa: E402
from cg_shade_06_util import asin_deg, svg # noqa: E402
from cglib import ONE, fdiv, fmul, fsqrt # noqa: E402
ROOT = os.path.dirname(os.path.dirname(os.path.abspath(__file__)))
ALPHA_MIN = 1311 # alpha 的下夹 0.02：alpha^2 = 26，再小 Q16.16 就装不下
DIEL_F0 = 2621 # 绝缘体 F0 = 0.04
SQRT2 = 92682 # round(sqrt(2) * 2^16)
BASE8 = (220, 90, 70) # 基础色（8 位通道）
ROUGH = [("0", 0), ("0.25", 16384), ("0.5", 32768), ("0.75", 49152), ("1", 65536)]
METAL = [("0", 0), ("0.25", 16384), ("0.5", 32768), ("0.75", 49152), ("1", 65536)]
def d_half_angle(a2):
"""NDF 半高角（度，Q16.16）：解 D(n·h) = D(1)/2。
D(1) = 1/(pi a2)，令 a2/(pi t^2) = 1/(2 pi a2) 得 t = sqrt(2) a2，代回
t = (n·h)^2 (a2-1) + 1 解出 (n·h)^2 = (sqrt(2) a2 - 1)/(a2 - 1)；
sin(半高角) = sqrt(1 - (n·h)^2)，再 arcsin 回角度。
"""
if a2 >= ONE:
return 90 * ONE # alpha = 1：D 是常数，整个半球都是半高以内
nh2 = fdiv(fmul(SQRT2, a2) - ONE, a2 - ONE)
return 90 * ONE if nh2 <= 0 else asin_deg(fsqrt(ONE - nh2))
def mirror_peak(a2, f0, rv=ONE // 2):
"""镜面方向（r = -rv）处的 f_s：高光中心的实测强度，从 lobe 的采样网格里取回。"""
rows = lobe(a2, f0, rv)
return rows[(ONE - rv) // (2 * ONE // (len(rows) - 1))]
def main():
out = os.path.join(ROOT, "out")
os.makedirs(out, exist_ok=True)
# 粗糙度 -> alpha = r^2 -> alpha^2；F0 固定 0.04，只看波瓣形状随 alpha 的变化
sweep = []
for lab, r in ROUGH:
alpha = max(fmul(r, r), ALPHA_MIN)
a2 = fmul(alpha, alpha)
fs = mirror_peak(a2, DIEL_F0)[3]
sweep.append((lab, alpha, a2, ggx_d(a2, ONE), d_half_angle(a2), fs))
assert sweep[2][2] == 4096, "粗糙度 0.5 应落到 6.1 用的 alpha^2 = 4096"
assert all(sweep[i][3] > sweep[i + 1][3] for i in range(4)), "NDF 峰值未随粗糙度下降"
assert all(sweep[i][4] < sweep[i + 1][4] for i in range(4)), "半高角未随粗糙度变宽"
# 基础色的两重身份：漫反射 albedo（乘 1-m）与镜面 F0（0.04 与基础色按 m 插值）
base_q16 = [(c << 16) // 255 for c in BASE8]
metal = [(lab, [((c * (ONE - m)) >> 16) for c in BASE8],
[DIEL_F0 + fmul(b - DIEL_F0, m) for b in base_q16]) for lab, m in METAL]
assert metal[0][1] == list(BASE8) and metal[-1][1] == [0, 0, 0], "绝缘体 albedo 应为基础色本身"
assert metal[-1][2] == base_q16, "金属的 F0 应等于基础色"
cglib.write_csv(os.path.join(out, "cg_shade_06_2_sweep.csv"),
["roughness", "alpha_q16", "alpha2_q16", "d_peak_q16",
"half_angle_deg_q16", "mirror_fs_q16"],
[(lab, a, a2, dp, ha, fs) for lab, a, a2, dp, ha, fs in sweep])
cglib.write_csv(os.path.join(out, "cg_shade_06_2_metal.csv"),
["metalness", "diffuse_r", "diffuse_g", "diffuse_b",
"f0_r_q16", "f0_g_q16", "f0_b_q16"],
[(lab, a[0], a[1], a[2], f[0], f[1], f[2]) for lab, a, f in metal])
top = max(s[3] for s in sweep)
wide = max(s[4] for s in sweep)
size = svg(os.path.join(out, "cg_shade_06_2_sweep.svg"),
[("NDF 峰值 D(0) (max %.0f)" % (top / ONE), "#ff8a5c", top,
[(i * (ONE // (len(sweep) - 1)), s[3]) for i, s in enumerate(sweep)]),
("NDF 半高角 (max %.1f 度)" % (wide / ONE), "#5cd6ff", wide,
[(i * (ONE // (len(sweep) - 1)), s[4]) for i, s in enumerate(sweep)])],
"6.2 高光强度与宽度随粗糙度的变化（各自按最大值归一化）")
data = {"alpha_min": ALPHA_MIN, "diel_f0": DIEL_F0, "base8": list(BASE8),
"sweep": [{"roughness": lab, "alpha_q16": a, "alpha2_q16": a2,
"d_peak_q16": dp, "half_angle_deg_q16": ha, "mirror_fs_q16": fs}
for lab, a, a2, dp, ha, fs in sweep],
"metal": [{"metalness": lab, "diffuse8": alb, "f0_q16": f0} for lab, alb, f0 in metal],
"svg_bytes": size}
with open(os.path.join(out, "cg_shade_06_2_metalness.json"), "w", encoding="utf-8") as fh:
json.dump(data, fh, ensure_ascii=False, indent=2)
print(f"alpha = roughness^2（下夹 {ALPHA_MIN}/65536 = {ALPHA_MIN / ONE:.3f}）")
for lab, a, a2, dp, ha, fs in sweep:
print(f" roughness={lab:4s} alpha^2={a2:6d} D(0)={dp / ONE:9.2f} "
f"半高角={ha / ONE:6.2f} 度（全宽 {2 * ha / ONE:6.2f} 度） "
f"镜面 f_s={fs / ONE:.4f}")
print("基础色的两重身份（金属度 m）：")
for lab, alb, f0 in metal:
print(f" m={lab:4s} 漫反射 albedo={alb} F0={[round(v / ONE, 3) for v in f0]}")
print(f"svg : out/cg_shade_06_2_sweep.svg ({size} bytes)")
return 0
if __name__ == "__main__":
sys.exit(main())
alpha = roughness^2（下夹 1311/65536 = 0.020）
roughness=0 alpha^2= 26 D(0)= 809.09 半高角= 0.76 度（全宽 1.52 度） 镜面 f_s=10.7899
roughness=0.25 alpha^2= 256 D(0)= 81.51 半高角= 2.37 度（全宽 4.74 度） 镜面 f_s=1.0864
roughness=0.5 alpha^2= 4096 D(0)= 5.09 半高角= 9.64 度（全宽 19.27 度） 镜面 f_s=0.0672
roughness=0.75 alpha^2= 20736 D(0)= 1.01 半高角= 25.88 度（全宽 51.76 度） 镜面 f_s=0.0127
roughness=1 alpha^2= 65536 D(0)= 0.32 半高角= 90.00 度（全宽 180.00 度） 镜面 f_s=0.0036
基础色的两重身份（金属度 m）：
m=0 漫反射 albedo=[220, 90, 70] F0=[0.04, 0.04, 0.04]
m=0.25 漫反射 albedo=[165, 67, 52] F0=[0.246, 0.118, 0.099]
m=0.5 漫反射 albedo=[110, 45, 35] F0=[0.451, 0.196, 0.157]
m=0.75 漫反射 albedo=[55, 22, 17] F0=[0.657, 0.275, 0.216]
m=1 漫反射 albedo=[0, 0, 0] F0=[0.863, 0.353, 0.275]
svg : out/cg_shade_06_2_sweep.svg (1013 bytes)
三列数字各说一件事。强度 $D(0)$ 从 809 掉到 0.32，跨了 2500 倍——这就是粗糙表面高光"糊掉"的量化形式。宽度从 0.76 度张到 90 度，只涨了 118 倍，远没有强度那么剧烈，所以调粗糙度时人眼先看到的是"亮斑变暗"，而不是"亮斑变宽"。镜面 $f_s$ 从 10.79 掉到 0.0036，跌幅比 $D(0)$ 还大，因为 $f_s$ 额外乘了 $G$ 与 $F$：粗糙表面在掠射角被遮蔽项削得更狠。
还有一条横向对照：粗糙度 0.5 这一行落到 $\alpha^2=4096$，与 6.1 脚本里写死的 A2 = 4096 是同一个值——两节的数字是同一套参数下的产物，不是各算各的。
P 层：整数 arcsin
P 层多了一个 6.1 没有的东西：角度。定点库里没有三角函数，但"高光宽度是几度"必须说人话，所以得自己实现 arcsin。
// file: lantern/core/src/lantern/cg_shade_06_2_metal.ts
// tier: P
// verify: node --test 'core/test/cg_shade_06_*.test.ts'
// 6.2 金属度-粗糙度工作流的 TypeScript 侧：粗糙度 -> alpha 的映射、基础色的两重身份、
// NDF 半高角（需要整数 arcsin，而定点库里没有三角函数）。与 sim/cg_shade_06_2_metalness.py 对齐。
//
// arcsin 的实现路径：arcsin(x) = atan(x / sqrt(1 - x^2))，atan 用 Hastings 多项式
// atan(t) ≈ (pi/4) t + t(1 - t)(0.2447 + 0.0663 t)，|t| <= 1 时误差 < 0.0015 rad。
import { ONE, fdiv, fmul, fsqrt } from "./fixed.ts";
import { type Dir, PI, specBrdf } from "./cg_shade_06_pbr.ts";
export const ALPHA_MIN = 1311n; // alpha 下夹 0.02：alpha^2 = 26，再小 Q16.16 装不下
export const DIEL_F0 = 2621n; // 绝缘体 F0 = 0.04
export const SQRT2 = 92682n; // round(sqrt(2) * 2^16)
const PI2 = 102944n;
const Q4PI = 51472n;
const DEG = 3754936n; // round(180/pi * 2^16)
const H1 = 16037n;
const H2 = 4345n;
/** 粗糙度 -> alpha = roughness^2，并下夹到 ALPHA_MIN。 */
export function alphaOfRoughness(r: bigint): bigint {
const a = fmul(r, r);
return a < ALPHA_MIN ? ALPHA_MIN : a;
}
/** atan(x)，Q16.16 弧度。 */
export function atanRad(x: bigint): bigint {
if (x < 0n) return -atanRad(-x);
if (x > ONE) return PI2 - atanRad(fdiv(ONE, x));
return fmul(Q4PI, x) + fmul(fmul(x, ONE - x), H1 + fmul(H2, x));
}
/** arcsin(x) -> 度数（Q16.16）。 */
export function asinDeg(x: bigint): bigint {
if (x >= ONE) return 90n * ONE;
if (x <= -ONE) return -90n * ONE;
return fmul(atanRad(fdiv(x, fsqrt(ONE - fmul(x, x)))), DEG);
}
/** NDF 半高角：解 D(n·h) = D(1)/2 得 (n·h)^2 = (sqrt2 a2 - 1)/(a2 - 1)。 */
export function dHalfAngleDeg(a2: bigint): bigint {
if (a2 >= ONE) return 90n * ONE; // alpha = 1：D 是常数，整个半球都在半高以内
const nh2 = fdiv(fmul(SQRT2, a2) - ONE, a2 - ONE);
return nh2 <= 0n ? 90n * ONE : asinDeg(fsqrt(ONE - nh2));
}
/** 平面内波瓣：v 固定在 (rv, 0, sqrt(1-rv^2))，l 扫过整个平面。 */
export function lobe(a2: bigint, f0: bigint, rv: bigint, n: number = 128): bigint[][] {
const zv = fsqrt(ONE - fmul(rv, rv));
const step = (2n * ONE) / BigInt(n);
const rows: bigint[][] = [];
for (let k = 0; k <= n; k += 1) {
let r = -ONE + BigInt(k) * step;
if (r < 1n - ONE) r = 1n - ONE; // 避开 n·l = 0 的掠射端点
if (r > ONE - 1n) r = ONE - 1n;
const z = fsqrt(ONE - fmul(r, r));
const hx = r + rv;
const hz = z + zv;
const hl = fsqrt(fmul(hx, hx) + fmul(hz, hz));
rows.push([BigInt(k), r, z,
specBrdf(a2, z, zv, fdiv(hz, hl), fdiv(fmul(rv, hx) + fmul(zv, hz), hl), f0)]);
}
return rows;
}
/** 镜面方向（r = -rv）处的 f_s：高光中心的实测强度。 */
export function mirrorPeak(a2: bigint, f0: bigint, rv: bigint = ONE / 2n): bigint {
const rows = lobe(a2, f0, rv);
const idx = (ONE - rv) / ((2n * ONE) / BigInt(rows.length - 1));
return rows[Number(idx)][3];
}
/** 基础色的两重身份之一：绝缘体时它是漫反射 albedo（乘 1-m），8 位通道。 */
export function mixDiffuse(base8: number, m: bigint): number {
return Number((BigInt(base8) * (ONE - m)) >> 16n);
}
/** 基础色的另一重身份：金属时它是镜面 F0（从 0.04 按 m 插值到基础色）。 */
export function mixF0(baseQ16: bigint, m: bigint): bigint {
return DIEL_F0 + fmul(baseQ16 - DIEL_F0, m);
}
/** 8 位通道 -> Q16.16。 */
export function chanToQ16(c: number): bigint {
return (BigInt(c) << 16n) / 255n;
}
export type { Dir };
atanRad 的 Hastings 多项式在第一版里被写成了 fmul(Q4PI, x) - fmul(fmul(x, ONE - x), ...)，符号反了，$\arcsin(0.5)$ 算出 22.02 度而不是 30 度——整段代码看起来完全合理，只有和参考值对照才露馅。P 层测试因此专门钉了一条：在 $x\in{0.1661,0.25,0.3716,0.5,0.866}$ 五个点上，定点 arcsin 与浮点参考的差必须小于 0.1 度（实测最大 0.0896 度）。跨语言比对只能证明两边一致，证明不了两边都对，这条参考值断言是补上前者的。
阅读导航：上一节：6.1 微表面理论 · 下一节：6.3 能量守恒的验证 。
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