站内那篇《一个人做小游戏，死在广告上》 复盘了一个最常见的死法：把「靠广告就能赚钱」当信仰，从没算过一笔账，直到现金流断了才发现收入盖不住成本。本章给出的是一套可跑的 LTV 与回本模型，把「能不能赚」从信念变成一串能在地板除下复现的整数。清单式的广告位与频次设计见《小游戏广告变现设计》 ；广告 eCPM 本身的建模是第 1 章、内购定价是第 2 章，本节只做一件事——把两者汇总成 ARPDAU 这一条乘法链。卷一 13.1 DAU × ARPDAU 已从产品视角给过 DAU×ARPDAU 的框架，本节把它落到能被 LTV/回本消费的日级整数口径，并做跨语言一致验证。
收入是两条乘法链，不是一条
「日收入 = DAU × ARPDAU」这个式子几乎每份 BP 都写，但它把最难的部分藏起来了：ARPDAU 到底由什么决定？拆开看，它其实是两条独立的乘法链之和：
- IAA（广告）：
ARPDAU_iaa = 人均广告请求次数 × 填充率 × eCPM / 1000。请求数由广告位与频次决定，填充率是平台侧机制，eCPM 是竞价结果。 - IAP（内购）：
ARPDAU_iap = 付费率 × ARPPU。付费率是转化漏斗的产物，ARPPU 是定价与礼包结构的产物。
这两条链的杠杆方向完全不同：IAA 靠加广告位和抬高频次（但会伤留存，第 1 章 1.3 讨论过），IAP 靠把少数用户的价值做深（第 2 章的定价与通行证）。把两者混成一个「ARPDAU」数字，就看不出该动哪个旋钮。本节的模型强制你把它们分开算、分开看占比。
三个口径先对齐
模型要能被三处（Python、TS、浏览器）复现，第一步是统一单位，否则浮点会在乘法链里累积误差：
- 金额一律「分」：不用「元」，避免
0.343这种小数参与后续累加。 - ARPDAU 内部用「0.1 分 / DAU」（记作 deciFen）：一天 65.5 分写成一个整数
655，既保留一位小数，又不引入浮点。 - 比例一律整数百分比或千分比：填充率写
88（表示 88%），付费率写26（表示千分之 26），留存率写420（表示 420‰）。
三条链上的每一步都是整数乘法再地板除，所以同一份 config 在任何语言里都会得到逐位相同的整数结果。
D 层：把假设写成一份配置
下面这份 D 层配置落在 config/l03_revenue.json，把六个假设参数与 DAU 阶梯都写成整数。注意配置里没有任何浮点——增长率、系数一律用整数比或整数百分比表示，这是「一份配置三种消费」能成立的前提。
{
"version": 1,
"game": "merge-island",
"note": "收入拆解口径（D 层）。把日收入拆成 DAU × ARPDAU，再把 ARPDAU 拆成 IAA 与 IAP 两条整数乘法链。dau / adRequestsPerDau / fillPct / ecpmFen / payRatePermille / arppuFen 均为示例假设参数；真实 DAU、填充率、eCPM、付费率与 ARPPU 需真实业务环境，命令行不可复现（X）。金额一律「分」，比例一律整数百分比或千分比，全程地板除，禁浮点。",
"dau": 20000,
"adRequestsPerDau": 26,
"fillPct": 88,
"ecpmFen": 1500,
"payRatePermille": 26,
"arppuFen": 1200,
"dauLadder": [5000, 10000, 20000, 50000, 100000]
}
这份配置的六个参数全部是示例假设：真实 DAU、填充率、eCPM、付费率与 ARPPU 必须来自真实业务环境，命令行不可复现（X）。本节要验证的不是这些数字本身，而是从假设到结论这条链的确定性。
S 层：DAU × ARPDAU 仿真
下面这段是 S 层仿真脚本 sim/l03_arpdau.py，读 config/l03_revenue.json，算出 IAA / IAP 两个分量与合计 ARPDAU，再乘 DAU 得到日 / 月 / 年收入，产出 JSON + CSV + 纯 Python SVG。
#!/usr/bin/env python3
# file: sim/l03_arpdau.py
# tier: S
# verify: /opt/homebrew/bin/python3 sim/l03_arpdau.py --config config/ --out out/
"""收入拆解：DAU × ARPDAU（本卷 3.1 的 S 层）。
iaaArpdauDeciFen = adRequestsPerDau * fillPct * ecpmFen // 10000
iapArpdauDeciFen = arppuFen * payRatePermille // 100
arpdauDeciFen = iaaArpdauDeciFen + iapArpdauDeciFen
dailyFen = dau * arpdauDeciFen // 10
金额一律「分」；ARPDAU 内部用「0.1 分 / DAU」（deciFen）保留一位小数，比例用整数
百分比 / 千分比。全程整数、地板除，配置里无浮点，故同一份 config/l03_revenue.json 被
Python（本脚本）、TS 内核（core/src/l03/revenue.ts）与浏览器原型（web/dist/l03.html）
三处消费时逐位一致。产出 out/l03_arpdau.json + _ladder.csv + .svg。
注意：全部输入为示例假设参数；真实数值需真实业务环境，命令行不可复现（X）。
"""
from __future__ import annotations
import argparse
import csv
import json
import os
import xml.etree.ElementTree as ET
def load(cfg_dir: str) -> dict:
with open(os.path.join(cfg_dir, "l03_revenue.json"), encoding="utf-8") as f:
return json.load(f)
def iaa_deci_fen(req: int, fill: int, ecpm: int) -> int:
return req * fill * ecpm // 10000
def iap_deci_fen(pay: int, arppu: int) -> int:
return arppu * pay // 100
def draw_svg(path: str, rows: list[dict]) -> int:
W, PAD, ROW = 720, 210, 46
H = 60 + ROW * len(rows)
root = ET.Element("svg", {"xmlns": "http://www.w3.org/2000/svg", "width": str(W),
"height": str(H), "viewBox": f"0 0 {W} {H}"})
ET.SubElement(root, "rect", {"width": str(W), "height": str(H), "fill": "#ffffff"})
ET.SubElement(root, "text", {"x": "16", "y": "26", "font-size": "15",
"fill": "#111827"}).text = "ARPDAU 拆解（0.1 分/DAU，示例参数）"
hi = max(r["v"] for r in rows) or 1
for i, r in enumerate(rows):
y, w = 50 + i * ROW, (W - PAD - 24) * r["v"] // hi
ET.SubElement(root, "text", {"x": "16", "y": str(y + 22), "font-size": "12",
"fill": "#374151"}).text = r["name"]
ET.SubElement(root, "rect", {"x": str(PAD), "y": str(y + 8), "width": str(w),
"height": "22", "rx": "4", "fill": r["color"]})
ET.SubElement(root, "text", {"x": str(PAD + w + 8), "y": str(y + 24), "font-size": "12",
"fill": "#6b7280"}).text = f'{r["v"] / 10:.1f}分 · {r["p"]}‰'
os.makedirs(os.path.dirname(path), exist_ok=True)
ET.ElementTree(root).write(path, encoding="utf-8", xml_declaration=True)
return len(ET.tostring(root))
def main() -> int:
ap = argparse.ArgumentParser()
ap.add_argument("--config", default="config/")
ap.add_argument("--out", default="out/")
args = ap.parse_args()
cfg = load(args.config)
req, fill, ecpm = cfg["adRequestsPerDau"], cfg["fillPct"], cfg["ecpmFen"]
pay, arppu = cfg["payRatePermille"], cfg["arppuFen"]
iaa, iap = iaa_deci_fen(req, fill, ecpm), iap_deci_fen(pay, arppu)
arpdau = iaa + iap
daily = cfg["dau"] * arpdau // 10
ladder = [{"dau": d, "dailyFen": d * arpdau // 10, "monthlyFen": d * arpdau // 10 * 30,
"annualFen": d * arpdau // 10 * 365} for d in cfg["dauLadder"]]
rows = [{"name": "IAA ARPDAU", "v": iaa, "color": "#2563eb", "p": iaa * 1000 // arpdau},
{"name": "IAP ARPDAU", "v": iap, "color": "#f59e0b", "p": iap * 1000 // arpdau},
{"name": "合计 ARPDAU", "v": arpdau, "color": "#10b981", "p": 1000}]
os.makedirs(args.out, exist_ok=True)
svg_bytes = draw_svg(os.path.join(args.out, "l03_arpdau.svg"), rows)
report = {"version": cfg["version"], "game": cfg["game"],
"iaaArpdauDeciFen": iaa, "iapArpdauDeciFen": iap, "arpdauDeciFen": arpdau,
"dailyFen": daily, "monthlyFen": daily * 30, "annualFen": daily * 365,
"shareSumPermille": rows[0]["p"] + rows[1]["p"], "components": rows,
"dauLadder": ladder, "svgBytes": svg_bytes,
"svg": os.path.join(args.out, "l03_arpdau.svg"),
"csv": os.path.join(args.out, "l03_arpdau_ladder.csv")}
with open(os.path.join(args.out, "l03_arpdau.json"), "w", encoding="utf-8") as f:
json.dump(report, f, ensure_ascii=False, indent=2)
with open(os.path.join(args.out, "l03_arpdau_ladder.csv"), "w", encoding="utf-8",
newline="") as f:
w = csv.writer(f)
w.writerow(["dau", "dailyFen", "monthlyFen", "annualFen"])
for r in ladder:
w.writerow([r["dau"], r["dailyFen"], r["monthlyFen"], r["annualFen"]])
print(json.dumps({"iaaArpdauDeciFen": iaa, "iapArpdauDeciFen": iap, "arpdauDeciFen": arpdau,
"dailyFen": daily, "monthlyFen": daily * 30, "annualFen": daily * 365},
ensure_ascii=False))
return 0
if __name__ == "__main__":
raise SystemExit(main())
真跑输出（同机相对量级，绝对数值不可移植）：iaaArpdauDeciFen=343、iapArpdauDeciFen=312、arpdauDeciFen=655（即 65.5 分/DAU）、dailyFen=1310000（13,100 元/日）、monthlyFen=39300000（393,000 元/月）、annualFen=478150000。两个分量各占 523‰ 与 476‰（整数地板除后合计 999‰，少的那 1‰ 就是两次取整的残差，需要显式知道它的存在）。
P 层：同一份配置的 TS 内核
下面这段是 P 层内核 core/src/l03/revenue.ts，把同一条乘法链在 TypeScript 里实现一遍。它与 Python 脚本消费同一份 config/l03_revenue.json，幂运算（3.3 会用到）用 BigInt，除法一律 Math.floor(a / b)。
// file: core/src/l03/revenue.ts
// tier: P
// verify: node --test 'core/test/l03_*.test.ts'
//
// 收入 / LTV / 回本内核（本卷 3.1–3.3 的 P 层）。与 sim/l03_arpdau.py、
// sim/l03_ltv.py、sim/l03_sensitivity.py 消费同一份 config/*.json，逐位一致。
//
// 约束：只用可擦除语法（禁 enum / namespace / 参数属性 / 装饰器）；
// 配置里禁浮点；幂运算用 BigInt；除法一律整数地板除。
export interface RevenueInputs {
readonly dau: number;
readonly adRequestsPerDau: number;
readonly fillPct: number;
readonly ecpmFen: number;
readonly payRatePermille: number;
readonly arppuFen: number;
}
export interface LtvConfig {
readonly arpdauDeciFen: number;
readonly cpaFen: number;
readonly horizonDays: number;
readonly retentionPermille: number[];
}
/** IAA ARPDAU（0.1 分/DAU）：requests × (fill/100) × (ecpm/1000) 分 × 10。 */
export function iaaArpdauDeciFen(p: RevenueInputs): number {
return Math.floor((p.adRequestsPerDau * p.fillPct * p.ecpmFen) / 10000);
}
/** IAP ARPDAU（0.1 分/DAU）：arppu × (payRate/1000) 分 × 10。 */
export function iapArpdauDeciFen(p: RevenueInputs): number {
return Math.floor((p.arppuFen * p.payRatePermille) / 100);
}
/** 合计 ARPDAU（0.1 分/DAU）。 */
export function arpdauDeciFen(p: RevenueInputs): number {
return iaaArpdauDeciFen(p) + iapArpdauDeciFen(p);
}
/** 日收入（分）：dau × arpdau(0.1 分) 地板除 10。 */
export function dailyFen(p: RevenueInputs): number {
return Math.floor((p.dau * arpdauDeciFen(p)) / 10);
}
/** 单安装逐日 LTV 曲线（0.1 分）。第 d 天 = arpdau × retention[d]/1000，逐日累加。 */
export function ltvCurve(arpdau: number, retentionPermille: number[]): number[] {
const out: number[] = [];
let cum = 0;
for (let d = 0; d < retentionPermille.length; d += 1) {
cum += Math.floor((arpdau * retentionPermille[d]) / 1000);
out.push(cum);
}
return out;
}
/** 前 days 天的累计 LTV（0.1 分）。 */
export function ltvDeciFen(arpdau: number, retentionPermille: number[], days: number): number {
let cum = 0;
for (let d = 0; d < days && d < retentionPermille.length; d += 1) {
cum += Math.floor((arpdau * retentionPermille[d]) / 1000);
}
return cum;
}
/** 回本日：最小的 D 使 ltvDeciFen(D) >= cpaFen × 10；找不到返回 -1。 */
export function paybackDay(arpdau: number, retentionPermille: number[], cpaFen: number): number {
const target = cpaFen * 10;
let cum = 0;
for (let d = 0; d < retentionPermille.length; d += 1) {
cum += Math.floor((arpdau * retentionPermille[d]) / 1000);
if (cum >= target) return d + 1;
}
return -1;
}
/** 第 month 个月的月收入（分）：daily × 30 × (num/den)^month，幂用 BigInt 地板除。 */
export function monthlyFen(p: RevenueInputs, month: number, growthNum: number, growthDen: number): number {
const daily = BigInt(dailyFen(p)) * 30n;
const n = BigInt(growthNum) ** BigInt(month);
const d = BigInt(growthDen) ** BigInt(month);
return Number((daily * n) / d);
}
这个文件里已经预置了 3.2 要用的 ltvDeciFen / paybackDay 与 3.3 要用的 monthlyFen，因为它们和 3.1 的乘法链共享同一套整数口径。同目录的 core/test/l03_revenue.test.ts 把三节的跨语言一致写成断言：arpdauDeciFen === 655、ltvDeciFen(...) === 2300、paybackDay(...) === 8、monthlyFen(base, 5, 103, 100) === 45559471——这些期望值全部来自 Python 的真实输出，不是手算的。
数字落在哪里
把 dau=20000 / adRequestsPerDau=26 / fillPct=88 / ecpmFen=1500 / payRatePermille=26 / arppuFen=1200 代进去，得到这样一张表（金额单位「元」）：
| 口径 | 整数（分或 0.1 分） | 可读值 |
|---|---|---|
| IAA ARPDAU | 343 | 0.343 元/DAU |
| IAP ARPDAU | 312 | 0.312 元/DAU |
| 合计 ARPDAU | 655 | 0.655 元/DAU |
| 日收入（DAU 20000） | 1,310,000 分 | 13,100 元 |
| 月收入 | 39,300,000 分 | 393,000 元 |
DAU 阶梯（日收入 / 月收入，单位元）也一并落在 CSV 里：5000 → 3,275 / 98,250；10000 → 6,550 / 196,500；20000 → 13,100 / 393,000；50000 → 32,750 / 982,500；100000 → 65,500 / 1,965,000。DAU 是线性乘子——ARPDAU 不变时收入与 DAU 严格成正比，这一点在 3.3 做敏感性时会变成一个反直觉的结论。
这一节要记住的三件事
- ARPDAU 是两条链的和，不是黑箱。IAA 链动请求数 / 填充率 / eCPM，IAP 链动付费率 / ARPPU，六个数各自可归因、可优化。
- 口径先于模型。分、deciFen、千分比三件套定死之后，同一份 config 才能被 Python、TS、浏览器三处消费而逐位一致——这正是「一份逻辑、多种宿主」在收入模型上的形态。
- 本节只算「单位收入」，不算「回本」。ARPDAU 告诉你每个活跃用户一天带来多少钱，但没回答「一个花了 1.5 元买来的用户多久能赚回来」——那是下一节 LTV 与回本周期要解决的问题。
必须诚实标注：本节所有输入参数均为示例假设，真实 DAU、填充率、eCPM、付费率与 ARPPU 需真实业务环境，命令行不可复现（X）。能确定的是从假设到结论这条链的确定性，不是任何一个绝对值。
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