上一节判定完谁赢，素材就进入投放；但同一条素材在账户里待得越久，点击率越低——这是疲劳（fatigue），是默认状态而非意外。素材生命周期「创意侧」怎么迭代，卷三 5.2 素材设计与迭代 与 5.3 素材与玩法一致性 已经讲透，卷三目录 《上线变现与长线运营》 给了完整脉络。本节不重做创意设计，只做衰减的工程化：把疲劳写成一条可算的整数曲线，用它反推替换日，再比较几种替换策略的单位成本。
衰减是默认状态，不是意外
素材不会「用坏了才衰减」，而是从第一天起就在衰减：对新素材敏感的那部分人群被反复触达后消耗殆尽，剩下的点击来自转化意愿更低的长尾，可观察的规律是前几天下滑最快、之后趋缓。运营上要回答的只有一个问题——什么时候把它换掉。换早了浪费制作与测试成本，换晚了持续买贵量。
衰减曲线：一条整数幂
把「第 d 日的 CTR」写成一条整数幂，衰减率用整数比表示（config 里禁止浮点）：
ctrAt(d) = baseCtr × decayNum^d // decayDen^d # 千分比
replaceDay = 首个满足 ctrAt(d) < baseCtr × thresholdPermille // 1000 的 d
decayNum/decayDen = 970/1000 表示每天保留 97% 的 CTR。注意 970^30 ≈ 10^45，远超 JS 安全整数 2^53——所以 Python 侧用原生大整数、TS 侧必须用 BigInt，否则跨语言一定对不上。
S 层仿真：三种替换策略的 CPI 对照
S 层仿真脚本 sim/o03_fatigue.py 在 30 天窗口里比较三种策略：no-replace（一条跑满）、fixed-K（每 K 天强制换新）、threshold（CTR 跌破基线的 70% 才换）。成本 = 曝光成本（各策略相同）+ 素材条数 × 单条制作成本，最终看 CPI（每次安装成本）。
#!/usr/bin/env python3
# file: sim/o03_fatigue.py
# tier: S
# verify: /opt/homebrew/bin/python3 sim/o03_fatigue.py --config config/ --out out/
"""素材衰减与疲劳替换仿真：衰减曲线 → 替换时机 → 各策略 CPI 对照。
ctrAt(d) = baseCtr * decayNum**d // decayDen**d # 素材服役第 d 日的 CTR（千分比）
replaceDay = 首个满足 ctrAt(d) < baseCtr*thresholdPermille//1000 的 d
第 d 日安装 = (imp*ctrAt(age)//1000) * ipm // 1000 # age = 该素材服役天数
策略：no-replace 跑满 / fixed-K 每 K 天换新 / threshold 跌到阈值即换；成本 = 曝光成本 +
素材条数*creativeCostFen；CPI = 总成本 // 总安装，最低者最优。
幂运算用 Python 大整数（decayNum**30 ≈ 10^45，远超 2^53，TS 侧必须 BigInt）。
真实衰减曲线与真实替换收益需真实业务环境，命令行不可复现（X）。产出 out/o03_fatigue.json + .csv + .svg。
"""
from __future__ import annotations
import argparse
import csv
import json
import os
import xml.etree.ElementTree as ET
def ctr_at(cfg: dict, d: int) -> int:
return cfg["baseCtrPermille"] * cfg["decayNum"] ** d // cfg["decayDen"] ** d
def replacement_day(cfg: dict) -> int:
target = cfg["baseCtrPermille"] * cfg["thresholdPermille"] // 1000
for d in range(0, cfg["horizonDays"] + 1):
if ctr_at(cfg, d) < target:
return d
return cfg["horizonDays"]
def simulate(cfg: dict, mode: str, cycle: int) -> dict:
imp, ipm, days = cfg["impressionsPerDay"], cfg["ipmPermille"], cfg["horizonDays"]
total = 0
for d in range(days):
age = d if mode == "no-replace" else d % cycle
total += (imp * ctr_at(cfg, age) // 1000) * ipm // 1000
creatives = 1 if mode == "no-replace" else (days + cycle - 1) // cycle
cost = imp * days * cfg["cpmFen"] // 1000 + creatives * cfg["creativeCostFen"]
name = "no-replace" if mode == "no-replace" else f"{mode}-{cycle}"
return {"strategy": name, "creatives": creatives, "totalInstalls": total,
"impressionsCostFen": imp * days * cfg["cpmFen"] // 1000, "totalCostFen": cost,
"cpiFen": cost // total if total else 10 ** 9}
def run(cfg: dict) -> dict:
rday = replacement_day(cfg)
strategies = [simulate(cfg, "no-replace", 0)]
for k in cfg["replacementCycles"]:
strategies.append(simulate(cfg, "fixed", k))
strategies.append(simulate(cfg, "threshold", rday))
best = min(strategies, key=lambda s: (s["cpiFen"], s["strategy"]))
curve = [{"day": d, "ctrPermille": ctr_at(cfg, d)} for d in range(cfg["horizonDays"])]
digest = (f'replaceDay:{rday}|' + ",".join(f'{s["strategy"]}:{s["cpiFen"]}' for s in strategies)
+ f'|best:{best["strategy"]}:{best["cpiFen"]}')
return {"replaceDay": rday, "strategies": strategies, "best": best["strategy"],
"bestCpiFen": best["cpiFen"], "curve": curve, "digest": digest}
def draw_svg(path: str, rep: dict) -> int:
"""纯 Python SVG：CTR 衰减折线 + 阈值横线 + 替换日竖线。"""
curve, W, H, L, R, T, B = rep["curve"], 760, 320, 56, 24, 44, 46
root = ET.Element("svg", {"xmlns": "http://www.w3.org/2000/svg", "width": str(W),
"height": str(H), "viewBox": f"0 0 {W} {H}"})
ET.SubElement(root, "rect", {"width": str(W), "height": str(H), "fill": "#ffffff"})
ET.SubElement(root, "text", {"x": "16", "y": "26", "font-size": "15",
"fill": "#111827"}).text = "素材 CTR 日衰减曲线（千分比）与替换阈值"
hi = max(c["ctrPermille"] for c in curve) or 1
spanx, spany, last = W - L - R, H - T - B, len(curve) - 1
thresh = hi * 700 // 1000
yt = T + spany - spany * thresh // hi
ET.SubElement(root, "line", {"x1": str(L), "y1": str(yt), "x2": str(W - R), "y2": str(yt),
"stroke": "#ef4444", "stroke-dasharray": "4 4"})
ET.SubElement(root, "text", {"x": str(W - R - 130), "y": str(yt - 4), "font-size": "11",
"fill": "#ef4444"}).text = f"阈值 70% ≈ {thresh}‰"
pts = [f'{L + spanx * c["day"] // last},{T + spany - spany * c["ctrPermille"] // hi}' for c in curve]
ET.SubElement(root, "polyline", {"points": " ".join(pts), "fill": "none",
"stroke": "#2563eb", "stroke-width": "2"})
xr = L + spanx * rep["replaceDay"] // last
ET.SubElement(root, "line", {"x1": str(xr), "y1": str(T), "x2": str(xr), "y2": str(T + spany),
"stroke": "#16a34a", "stroke-dasharray": "3 3"})
ET.SubElement(root, "text", {"x": str(xr + 4), "y": str(T + 14), "font-size": "11",
"fill": "#16a34a"}).text = f"替换 D{rep['replaceDay']}"
ET.SubElement(root, "line", {"x1": str(L), "y1": str(T + spany), "x2": str(W - R),
"y2": str(T + spany), "stroke": "#9ca3af"})
ET.SubElement(root, "text", {"x": str(L), "y": str(H - 16), "font-size": "11",
"fill": "#6b7280"}).text = "D0 → D29；最优策略 " + rep["best"]
os.makedirs(os.path.dirname(path), exist_ok=True)
ET.ElementTree(root).write(path, encoding="utf-8", xml_declaration=True)
return len(ET.tostring(root))
def main() -> int:
ap = argparse.ArgumentParser()
ap.add_argument("--config", default="config/")
ap.add_argument("--out", default="out/")
args = ap.parse_args()
with open(os.path.join(args.config, "o03_fatigue.json"), encoding="utf-8") as f:
cfg = json.load(f)
rep = run(cfg)
os.makedirs(args.out, exist_ok=True)
svg_bytes = draw_svg(os.path.join(args.out, "o03_fatigue.svg"), rep)
report = {"version": cfg["version"], "game": cfg["game"], "observedAt": cfg["observedAt"],
"baseCtrPermille": cfg["baseCtrPermille"], "decayNum": cfg["decayNum"], "decayDen": cfg["decayDen"],
"horizonDays": cfg["horizonDays"], **rep, "svg": os.path.join(args.out, "o03_fatigue.svg"),
"svgBytes": svg_bytes}
with open(os.path.join(args.out, "o03_fatigue.json"), "w", encoding="utf-8") as f:
json.dump(report, f, ensure_ascii=False, indent=2)
with open(os.path.join(args.out, "o03_fatigue.csv"), "w", encoding="utf-8", newline="") as f:
w = csv.writer(f)
w.writerow(["strategy", "creatives", "totalInstalls", "impressionsCostFen", "totalCostFen", "cpiFen"])
for s in rep["strategies"]:
w.writerow([s["strategy"], s["creatives"], s["totalInstalls"],
s["impressionsCostFen"], s["totalCostFen"], s["cpiFen"]])
print(json.dumps({"replaceDay": rep["replaceDay"], "strategies": rep["strategies"],
"best": rep["best"], "bestCpiFen": rep["bestCpiFen"],
"curveHead": rep["curve"][:6], "digest": rep["digest"]},
ensure_ascii=False, indent=2))
return 0
if __name__ == "__main__":
raise SystemExit(main())
策略参数与阈值放在 config/o03_fatigue.json：
{
"version": 1,
"game": "merge-island",
"observedAt": "2026-10",
"horizonDays": 30,
"baseCtrPermille": 32,
"decayNum": 970,
"decayDen": 1000,
"impressionsPerDay": 200000,
"cpmFen": 1600,
"ipmPermille": 140,
"thresholdPermille": 700,
"creativeCostFen": 400000,
"replacementCycles": [5, 7, 10, 14, 30],
"sweep": [
{ "decayNum": 985, "decayDen": 1000 },
{ "decayNum": 970, "decayDen": 1000 },
{ "decayNum": 955, "decayDen": 1000 }
],
"note": "素材衰减与替换参数，口径是「公开可观察机制」的建模假设，不是任何渠道后台实测。decayNum/decayDen = 每日 CTR 保留率（整数比，970/1000 即日衰减 3%）；ctrAt(d) = baseCtr * decayNum^d // decayDen^d，幂运算必须用大整数（BigInt）。thresholdPermille = 替换阈值：当 CTR 跌到新鲜的 70% 以下即换新。creativeCostFen = 每条新素材的制作+测试成本。真实疲劳曲线与真实替换效果需真实业务环境，命令行不可复现（X）。全整数，无浮点。"
}
在本机跑 /opt/homebrew/bin/python3 sim/o03_fatigue.py --config config/ --out out/，各策略结果（同机相对量级，绝对数值不可移植）：
| 策略 | 素材条数 | 总安装 | 总成本(分) | CPI(分) |
|---|---|---|---|---|
| no-replace | 1 | 17500 | 10000000 | 571 |
| fixed-5 | 6 | 25200 | 12000000 | 476 |
| fixed-7 | 5 | 24500 | 11600000 | 473 |
| fixed-10 | 3 | 23268 | 10800000 | 464 |
| fixed-14 | 3 | 22204 | 10800000 | 486 |
| threshold-13 | 3 | 22680 | 10800000 | 476 |
（fixed-30 与 no-replace 同为 571，从略。）替换日由阈值反推得到 D13。注意最优既不是「换得越勤越好」，也不是「阈值触发」：fixed-10 的 CPI 464 最低，比 threshold-13 的 476 还低，比不换的 571 低得多——换太勤（fixed-5/7）制作成本吃掉了收益，换太懒则一直在买高价量。
B 层基准：换一个衰减率，结论还成立吗
一个「最优周期」如果只在某一条衰减率下成立，它就是拟合噪声。B 层基准 sim/o03_fatigue_bench.py 对衰减率做敏感度扫描（decayNum 985 / 970 / 955），用完全相同的整数模型复算，检查最优策略是否翻盘：
#!/usr/bin/env python3
# file: sim/o03_fatigue_bench.py
# tier: B
# verify: /opt/homebrew/bin/python3 sim/o03_fatigue_bench.py --config config/ --out out/
"""B 基准：对素材衰减率做敏感度扫描，检查「最优替换周期」结论是否稳健。
对 config/o03_fatigue.json 的 sweep 逐档覆盖 (decayNum, decayDen)，用与 sim/o03_fatigue.py
完全相同的整数模型复算各策略 CPI，输出每档的 replaceDay、最优策略与 CPI 极差，并检查最优
策略是否在扫描区间内保持不变（软告警，不硬失败）。
B 层对抗「编数字」：若换一个衰减率结论就翻盘，说明这个「最优周期」是拟合噪声。
数字全部来自本机实跑；真实衰减率需真实业务环境，命令行不可复现（X）。产出 out/o03_fatigue_bench.json。
"""
from __future__ import annotations
import argparse
import json
import os
def ctr_at(cfg: dict, d: int) -> int:
return cfg["baseCtrPermille"] * cfg["decayNum"] ** d // cfg["decayDen"] ** d
def replacement_day(cfg: dict) -> int:
target = cfg["baseCtrPermille"] * cfg["thresholdPermille"] // 1000
for d in range(0, cfg["horizonDays"] + 1):
if ctr_at(cfg, d) < target:
return d
return cfg["horizonDays"]
def simulate(cfg: dict, mode: str, cycle: int) -> dict:
imp, ipm, days = cfg["impressionsPerDay"], cfg["ipmPermille"], cfg["horizonDays"]
total = sum((imp * ctr_at(cfg, d if mode == "no-replace" else d % cycle) // 1000) * ipm // 1000
for d in range(days))
creatives = 1 if mode == "no-replace" else (days + cycle - 1) // cycle
cost = imp * days * cfg["cpmFen"] // 1000 + creatives * cfg["creativeCostFen"]
name = "no-replace" if mode == "no-replace" else f"{mode}-{cycle}"
return {"strategy": name, "creatives": creatives, "totalInstalls": total,
"totalCostFen": cost, "cpiFen": cost // total if total else 10 ** 9}
def run_one(cfg: dict) -> dict:
rday = replacement_day(cfg)
strategies = [simulate(cfg, "no-replace", 0)]
for k in cfg["replacementCycles"]:
strategies.append(simulate(cfg, "fixed", k))
strategies.append(simulate(cfg, "threshold", rday))
best = min(strategies, key=lambda s: (s["cpiFen"], s["strategy"]))
cpis = [s["cpiFen"] for s in strategies]
return {"decayNum": cfg["decayNum"], "decayDen": cfg["decayDen"], "replaceDay": rday,
"best": best["strategy"], "bestCpiFen": best["cpiFen"], "cpiSpread": max(cpis) - min(cpis),
"strategies": {s["strategy"]: s["cpiFen"] for s in strategies}}
def main() -> int:
ap = argparse.ArgumentParser()
ap.add_argument("--config", default="config/")
ap.add_argument("--out", default="out/")
args = ap.parse_args()
with open(os.path.join(args.config, "o03_fatigue.json"), encoding="utf-8") as f:
base = json.load(f)
rows = [run_one(dict(base, decayNum=s["decayNum"], decayDen=s["decayDen"]))
for s in base["sweep"]]
bests = {r["best"] for r in rows}
stable = len(bests) == 1
warnings = []
if not stable:
warnings.append(f"最优策略在扫描区间内不唯一：{sorted(bests)}")
if max(r["cpiSpread"] for r in rows) < 40:
warnings.append("各策略 CPI 极差过小，结论对成本结构不敏感")
report = {"version": base["version"], "game": base["game"], "observedAt": base["observedAt"],
"sweep": rows, "stableBest": stable, "bestStrategies": sorted(bests),
"warnings": warnings}
os.makedirs(args.out, exist_ok=True)
with open(os.path.join(args.out, "o03_fatigue_bench.json"), "w", encoding="utf-8") as f:
json.dump(report, f, ensure_ascii=False, indent=2)
print(json.dumps({"sweep": [{"decayNum": r["decayNum"], "replaceDay": r["replaceDay"], "best": r["best"],
"bestCpiFen": r["bestCpiFen"], "cpiSpread": r["cpiSpread"]} for r in rows],
"stableBest": stable, "bestStrategies": sorted(bests), "warnings": warnings},
ensure_ascii=False, indent=2))
return 0
if __name__ == "__main__":
raise SystemExit(main())
扫描结果：
| 衰减档 | 替换日 | 最优策略 | 最优 CPI | 策略极差 |
|---|---|---|---|---|
| 985 | D25 | fixed-10 | 435 | 33 |
| 970 | D13 | fixed-10 | 464 | 107 |
| 955 | D9 | fixed-10 | 496 | 190 |
三档衰减率下最优策略都是 fixed-10，stableBest = true、无告警。衰减越快，替换日越早（D25 → D13 → D9）、CPI 越高、策略间极差越大——这正是预期：衰减越猛，「换不换」这件事越值钱。结论在扫描区间内稳健，不是拟合噪声。
X 层：真实衰减与真实收益不可复现
必须把边界划清。上面算的是替换决策侧：给定一条衰减曲线，哪种替换周期最省。下面这些属于 X 层，需真实业务环境，命令行不可复现：真实的衰减曲线（受素材、人群、竞争、季节共同影响，且不同素材衰减速度不同）；真实的制作成本与再投放后的「新素材红利」幅度；真实收益里素材对留存与付费的长期影响。工程上的正确用法是把可复现的决策层当骨架，投放后用真实数据反标定 baseCtr 与 decayNum，再回代这套模型。
自检表
| 检查项 | 合格标准 |
|---|---|
| 衰减可算 | 曲线写成整数幂，config 里无浮点 |
| 成本算全 | 曝光成本 + 素材制作成本都进 CPI |
| 结论稳健 | 换一档衰减率最优策略不翻盘（B 层） |
| 边界清晰 | 真实衰减与收益标 X，不写成「实测」 |
素材衰减是这一章最容易被忽略的「隐形税」：它不写在任何账单上，却每天都在抬高你的实际 CPI。把衰减写成曲线、把替换写成策略、把结论放进扫描里验证，是把这笔税从「凭感觉」变成「可预算」的唯一办法。
阅读导航：上一节：3.2 素材测试矩阵与优胜劣汰 · 下一节：4.1 归因窗口、点击归因与展示归因 。
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