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《计算机图形学》卷一《几何、变换与光栅化》· 全书目录与章节索引（50 篇）

《计算机图形学》卷一《几何、变换与光栅化》全 50 篇。第一部分（第 1–4 章）把渲染还原成整数：渲染的最小模型与场景规格字段、最小渲染器骨架，向量运算的定点化与齐次坐标，模型/视图/投影矩阵与 MVP 合成，旋转矩阵、四元数与朝向插值；第二部分（第 5–8 章）处理从世界到屏幕的每一步：针孔相机与透视正交投影、视锥与近远平面，整数边函数与覆盖判定、重心坐标插值、深度插值与 z-buffer，DDA 与 Bresenham 及直线光栅化的误差界，视锥裁剪与近平面多边形重建；第三部分（第 9–13 章）做可见性与数值一致：背面剔除与朝向的精确判定、深度缓冲的精度分布与逆转 z、采样定理与 MSAA 的 CPU 实现、UV 与透视校正插值及 mipmap，最后把定点与浮点的分歧、边函数规则的整数化、跨语言逐位一致做成可验证的判据；第四部分（第 14–16 章）把中间缓冲可视化并装配成完整管线，做三种消费的联调并交付卷二。按章节提供仿真、逻辑内核与原型；完整项目的配置组装与交付验收仍在补齐。全书围绕程序化场景《烛影山谷》与工具链 lantern 展开。

《计算机图形学》卷一《几何、变换与光栅化》全 50 篇。它回答一个问题：一次渲染，能不能被还原成一组可复现的整数，并且这件事可以被证伪？

站内的图形学内容基本落在两端：一端是现代图形 API 的实时渲染工程（graphics/ 专题 45 篇与《渲染引擎》55 篇，C++ / GLSL / WGSL / TypeScript，跑在 GPU 上，产出帧率与 draw call），一端是资产管线与预算闸门（《技术美术与管线工程》50 篇）。中间那一段——渲染算法本身的可算性与可证明性——没有人占。 而这一段恰恰是可以写成整数、逐字节比对、跑在 CPU 上、用命令行复现的一段。

做法只有一句话：一份场景规格，三种宿主消费。config/scene_spec.json 是唯一真源（71 个字段，全部是整数，浮点数为 0），它同时驱动三处——S 层 Python + numpy 的 CPU 软件光栅化器、P 层 TypeScript 定点光栅化内核、W 层浏览器 WebGL2 着色器。三处读的是同一个文件。

两条一致性纪律贯穿全卷：整数与定点逐位一致（Python 与 TypeScript 产出逐字节相同的像素缓冲，sha256 比对，这条是可证伪的——一旦某个运算顺序或舍入不同，摘要立刻不同），以及浮点按声明容差（GPU 的光栅化规则与 CPU 不同，不可能逐位一致，故一律用覆盖归属差异、MAE、PSNR 断言）。

贯穿全书的是程序化生成的虚构场景 《烛影山谷》（lantern-hollow）与工程 lantern：起伏地形 + 三个材质球 + 一盏方向光与环境光 + 一条相机路径，全部几何由整数噪声生成，不引入任何第三方素材。本页是《几何、变换与光栅化》的全书目录：按章节顺序列出全部 50 篇，点击标题直达正文，也可以从各节末尾的「阅读导航」按顺序通读，或先看目录篇里的分工说明与可运行性口径。

全书概览

项目	内容
书稿	《计算机图形学》卷一《几何、变换与光栅化》
篇数	50 篇（正文 16 章 48 节 + 目录篇 + 附录 A）
贯穿案例	程序化场景《烛影山谷》（`lantern-hollow`，工程 `lantern`）
核心主张	一份场景规格，三种宿主消费；两条一致性纪律
可运行性	六档 S / P / W / D / X / B
前置	无（本卷是三卷本的第一卷）
后继	卷二《着色、光照与纹理》（16 章 48 节）；卷三《光线追踪与全局光照》（16 章 48 节）

三卷怎么分

卷	书名	回答的问题
卷一	几何、变换与光栅化	一次渲染能不能被还原成一组可复现的整数
卷二	着色、光照与纹理	颜色从哪来，能不能写成可逐像素断言的量
卷三	光线追踪与全局光照	光能不能被还原成一个可估计的积分

与站内既有内容的分工

graphics/ 专题 的 45 篇讲的是现代图形 API 的实时渲染工程：管线阶段、MSAA/TAA、HDR 管线、延迟/Tiled、集群前向、GPU Driven、光追混合。本卷讲的是同一条管线在 CPU 上的整数实现——不调用任何图形 API，产出的是逐像素可断言的图像与中间缓冲，而不是帧率与 draw call。
《渲染引擎》 55 篇用 TypeScript 从零造一个引擎（RHI 抽象、双后端、帧图、后处理）。那套是引擎架构；本卷是同一算法跨语言的逐字节证明——同一个场景在 Python 与 TypeScript 下必须给出同一个 sha256。
《技术美术与管线工程》 50 篇做的是管线闸门与预算（LOD 预算、三角预算、显存账）。那套管的是「画得完吗」；本卷管的是「算得对吗」。
Unity/SRP 口径的渲染管线 是引擎层的管线配置；本卷第 16 章做的是可执行规格的三消费联调，与具体引擎无关。
术语上需要留意：站内的「抖动」「MVP」「批处理」「instancing」「投影」绝大多数是误报（分别是 jitter、Minimum Viable Product、batch processing、云实例、数据库 projection）。本卷的 MVP 一律指 model-view-projection 矩阵合成。

本卷 16 章

第一部分 · 把渲染还原成整数（第 1–4 章）

第二部分 · 从世界到屏幕（第 5–8 章）

第三部分 · 可见性与数值一致（第 9–13 章）

第四部分 · 调试、几何与装配（第 14–16 章）

可运行性

本卷沿用六档口径：S 是 Python + numpy 的 CPU 软件光栅化（numpy 向量化，800×600 全屏逐像素着色实测 5.44 ms/帧），P 是 TypeScript 定点光栅化内核（node --test，含与 S 层 sha256 逐字节相同的断言与负例），W 是浏览器 WebGL2 真渲染（Playwright 无头读像素，与 S 层按声明容差比对），D 是规格文本、schema 与清单，X 是需真实 GPU 环境、命令行不可复现的部分（正文逐处标注），B 是参数扰动与相变扫描（软告警不硬失败）。每一节至少有一个 S / P / W 档的代码块，且正文里的每个数字都来自本机实跑。

「渲染正确」在本卷是代理指标，不是「画得好看」：覆盖率一致性（CPU 与 GPU 不一致像素占比，千分比）、图像误差（MAE、PSNR、最大通道差）、定点不变量残差（重心坐标三权重之和 − 面积，恒为 0）、走样阈值（参数扰动下首次出现可见走样的参数值）。这些只用于相对比较，不做绝对化表述。

怎么读

想先看主张，从目录篇开始，那里有三卷定位、两条纪律与六档口径。想直接动手，从第 1 章把场景规格跑起来，再依次走 S / P / W 三层。只关心「为什么必须用整数」，看第 13 章的定点与浮点分歧与第 13.3 节的跨语言逐位一致验证。需要查字段与量纲，直接翻附录 A 。

全部文章 Golang Game Minigame Saas Rust Python Java 游戏开发客户端开发 GameDev

14.3 中间缓冲的可视化

四张调试缓冲不该各写各的导出代码。本节把它们收进一个统一导出器：每张图写出 8 位 PNG、一份 sha256、一条「回读像素 == 内存缓冲」断言，再用纯 xml.etree 拼一张内嵌 base64 的 SVG 联系表，最后用 ET.fromstring 回读校验结构与内嵌字节。

2026-10-158 分钟阅读

计算机图形学光栅化书稿

14.2 覆盖率与线框

二值覆盖掩码只回答「涂过没有」，调试要问「涂了几次」。本节把覆盖率存成整数计数，用双重计数与二值化基线两条不变量把它钉住；线框复用第 7 章的整数 Bresenham 只描正面三角形，并在浏览器里用加法混合让 GPU 独立算出同一份计数，再逐像素对齐。

2026-10-1510 分钟阅读

计算机图形学光栅化书稿

14.1 深度图与法线图

深度缓冲不是距离，直接 gray = z*255/ONE 会把整帧压进 20 个灰度级、闲置 236 级。本节先把这个浪费量化，再用按距离等分的 8x32 分段映射把每级钉在 0.157 世界单位；法线图由插值后的顶点法线编码进 RGB，两条负例必须被模长判据拒绝。

2026-10-159 分钟阅读

计算机图形学光栅化书稿

10.3 画家算法与深度排序

画家算法不逐像素做深度测试，只把三角形按质心深度从远到近画、后画者胜。本节在可分离场景里让画家与 z-buffer 逐字节相同，在相交场景里让它们出现 63 个差异像素，并说清差异的来源是质心排序在交叉处判错了局部前后。脚本用「深度 = 绘制序号的相反数」把画家算法搭在共享光栅化器上。

2026-10-157 分钟阅读

计算机图形学光栅化书稿

8.3 屏幕空间裁剪

只裁近平面时投影坐标会飞出视口 64 倍，整数包围盒加剪刀矩形把扫描窗口压回视口且逐字节不改像素；保护带 G=0 就能让 80.7% 的三角形免裁，G=256 提到 93.4%。本节实测原始包围盒 4922869 单元、夹紧后 244708、扫描 223753 单元覆盖 43730 像素。

2026-10-1510 分钟阅读

计算机图形学光栅化渲染管线

8.2 近平面裁剪与多边形重建

近平面裁剪会把三角形裁成四边形甚至五边形，重建它靠的是扇形三角化的整数恒等式：三个扇形三角形的面积和精确等于多边形面积，逆序则精确变号。本节实测英雄三角形 3→4→5 的逐步计数、面积比恰为 t^2 = 1/4 的解析解，以及「丢弃 vs 裁剪」两帧覆盖异或为 0 而颜色差 171。

2026-10-1512 分钟阅读

计算机图形学光栅化渲染管线

8.1 视锥裁剪

视锥六个面在视图空间解析写成四条整数系数，与投影矩阵同源；Sutherland–Hodgman 的交点用 fdiv 定标、算术右移降精度，于是面积守恒成为精确整数恒等式。本节实测六平面系数、487 个顶点的分类、英雄三角形 3 裁成 5 的逐步计数，以及裁剪前后两帧覆盖异或为 0。

2026-10-1511 分钟阅读

计算机图形学光栅化渲染管线

10.2 深度冲突与逆转 z

两个几乎重合的面若在深度缓冲里落进同一格，深度测试就分不出前后，像素随视角抖动——这就是深度冲突。本节用两块相距 13/65536 的平行墙，把朴素线性 z、标准透视 z、逆转 z 三种映射的冲突像素数摆在一起，解释逆转 z 为何要把深度测试从 < 翻成 >，并如实说明定点缓冲与浮点缓冲下它的差别。

2026-10-159 分钟阅读

计算机图形学光栅化书稿

7.3 线宽与直线抗锯齿

线宽不能用开方算距离：把 d <= r 两边平方，得到一条纯整数的覆盖判据 cross^2 <= r^2*|AB|^2，端帽用最近端点的距离平方兜底。本节实测五个线宽的覆盖数、水平与竖直的对称性，并用 N x N 子样本把覆盖率收敛到解析面积 194514 千分像素^2。

2026-10-159 分钟阅读

计算机图形学光栅化渲染管线

7.2 直线光栅化的误差界

半像素误差界可以写成一条不含除法的整数判据：2*|k*major - i*minor| <= major。本节在 89439 个采样点上穷举验证：Bresenham 与半像素 DDA 的实测 max|e| 恰好是 0.5 像素，floor 取整的 DDA 有 1922 组越界；界在 651 组上被恰好达到，说明它已不能再收紧。

2026-10-159 分钟阅读

计算机图形学光栅化渲染管线

附录 A 场景规格字段表、定点约定与数据集索引

《计算机图形学》卷一附录 A：scene_spec.json 的 71 个字段全表（相机、方向光、点光源、地形、球体、渲染参数，全部为整数）、Q16.16 与 Q6 子像素的定点约定、四条舍入铁律、定点不变量清单、两条一致性纪律的判据表，以及全书数据集索引与一个可跑的定点约定自检脚本。

2026-10-159 分钟阅读

计算机图形学图形渲染光栅化

9.3 双面材质

开曲面没有厚度：从背面看，一块 4x4 的布帘 32 个三角形全是背面，单面渲染得到一张空图。双面材质的做法不是不剔除，而是把背面三角形的几何法线取反再着色；本节实测单趟与两遍渲染逐字节相同，并给出「忘了取反」的指纹——背面图像恰好是正面图像的左右镜像。

2026-10-157 分钟阅读

计算机图形学光栅化渲染管线

9.2 剔除的判定与代价

背面剔除的判定只是一次整数符号比较，可它省下的到底是什么？本节把代价拆成像素测试数与覆盖像素数两笔，实测 896 个三角形下测试数从 161448 降到 140493（省 129‰），覆盖集合分毫不变，而地形这类开曲面在掠射处仍有 2477 个像素会因剔除而换色。

2026-10-157 分钟阅读

计算机图形学光栅化渲染管线

9.1 环绕顺序与法线朝向

屏幕空间边函数 E(A,B,C) 的符号就是三角形的朝向。本节在《烛影山谷》的 896 个三角形上实测 606 正面、290 背面、0 退化，与光栅化器剔除的 290 完全一致；再证明世界空间几何法线与视线方向的点积是同一条判据，并用 det<0 的镜像矩阵说明手性反转时法线必须跟着翻。

2026-10-158 分钟阅读

计算机图形学光栅化渲染管线

7.1 DDA 与 Bresenham

直线的光栅化先要把方向折进一个八分圆，再决定每一步的取整语义：floor 会系统性偏下并漏掉终点，半像素偏置才落到最近像素。本节用定点 DDA 与整数 Bresenham 扫过 2079 组斜率，量出两者的分歧只出现在平局且步长无截断的 129 组，并用覆盖掩码的 sha256 把 Python 与 TypeScript 逐字节对齐。

2026-10-1510 分钟阅读

计算机图形学光栅化书稿

6.3 深度插值与 z-buffer

多个三角形覆盖同一个像素时，谁的颜色留下由深度测试决定。本节把 6.2 插出的深度送进 z-buffer，说清严格 `<` 与 `<=` 的差别：前者让共享边像素的归属由绘制顺序决定——这不是「与顺序无关」，只是把赢家换成先画的那个；再用一份 64×48 场景让 WebGL2 与 CPU 定点内核对照，并给出必被拒绝的负例。

2026-10-1510 分钟阅读

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6.2 重心坐标与插值

把 6.1 的三条边函数归一化就得到重心坐标：权重 w0/w1/w2 是像素对三个顶点的贡献比例。本节证明不变量 w0+w1+w2 恒等于面积（定点残差严格为 0），用权重线性插值颜色与深度，说清分子非负时 Python 的 `//` 与截断除同义，最后让 TypeScript 复现出逐字节相同的像素缓冲。

2026-10-158 分钟阅读

计算机图形学光栅化书稿

6.1 边函数与覆盖判定

从整数边函数 E(A,B,P) 的「有向面积 2 倍」含义出发，推出三个边函数同号即在三角形内；实测屏幕空间 y 向下时 area > 0 对应的环绕方向、Q6 子像素精度与像素中心取法，并用子像素扰动实验区分恒等实现，最后看 `>= 0` 如何让共享边像素被重复认领。

2026-10-159 分钟阅读

计算机图形学光栅化书稿

5.3 视锥与近远平面

视锥六平面的解析构造与近远平面：从 MVP 直接抽出六平面并用 45 个采样点核对判定，解释近平面不能取 0（深度值会塌到 1），用纯 xml.etree 生成 depth(D)=far/(far-near)·(1-near/D) 的精度分布 SVG，量化给出首个倍程独占约 503‰ 深度量程的结论。

2026-10-158 分钟阅读

计算机图形学光栅化书稿

5.2 透视与正交投影

逐项推导透视与正交两个投影矩阵：透视最后一行 (0,0,-1,0) 让 w=-z_view 随深度变化、片元要除以 w，正交最后一行 (0,0,0,1) 让 w 恒为 1、不做透视除法。用同一场景分别渲染两帧并量化覆盖率与深度分布差别，说明正交为何在工程制图里仍然有用。

2026-10-156 分钟阅读

计算机图形学光栅化书稿