3.1 法线的变换
法线不能直接用模型矩阵 M 变换：非均匀缩放 diag(2,1,1) 下 (M·t)·(M·n) 实测 +3.0000 而非 0，改用逆转置 (M⁻¹)ᵀ 后恒为 +0.0000；纯旋转时两者相等，错误只在非均匀缩放下暴露。4096 个单位法线扫描给出归一化后的模长不变量 |n| ∈ [ONE−5, ONE]。
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计算机图形学
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2.3 材质的组合与混合
材质的线性混合只要满足不变量 w_A+w_B==ONE 就仍能量守恒（五组权重实测 65533/65479/65426/65373/65321 全 ≤ ONE，权重和 =2·ONE 时涨到 130854）；清漆层朴素相加 78640 越界、按 (1-F) 缩放后 60946 守恒。并用混合材质渲染一帧，跨宿主 sha256 逐字节相同。
2.2 常见 BRDF 的定点化
把 Lambert、Phong、Blinn-Phong 三种 BRDF 写成全整数：1/π=20861，Phong 归一化 9/π=187749，Blinn 归一化 3/π=62583，指数 (R·V)^16 用 4 次平方。实跑能量：Lambert 65533、归一化 Phong 65321、归一化 Blinn 69886（超过 ONE），未归一化 Phong 只 22800。
2.1 BRDF 与能量守恒
把 BRDF 的半球反射率写成固定的 512 方向整数估计：cosθ_k=(2k+1)/128 是精确有理数、方位只用 {0,±1,±√2/2}，全程无浮点三角函数。∫cosθ dω 的估计逐位等于 π（残差 0），Lambert 能量 65533（999.9542‰），残差 3。
15.3 偏差的定位方法
给定一张「错了的图」，按二分定位法逐级比对覆盖率、法线、albedo 与最终颜色四张缓冲，把偏差锁到管线的某一段。差异数字本身就是线索：等于覆盖像素数说明逐像素操作出问题，只有几十个说明舍入或常数出问题。五个负例各定位到对应阶段，并对「插值后漏归一化」做一次完整演练，从法线图差异 43731 一路定位到漏掉的那一行。
15.2 中间缓冲的着色验证
把逐像素着色器的四张中间缓冲各自单独导出并断言：法线模长落在 [65533, 65537]、albedo 通道在 [70,220]、深度沿单三角形单调、覆盖率与解析解逐像素相同（43731 像素、差异 0）。法线图与 albedo 图编码后的 sha256 由 TypeScript 侧逐字节复现。
15.1 跨语言着色对照
同一份场景规格在 Python 与 TypeScript 两条 CPU 路径下产出逐字节相同的像素缓冲。把着色器写成可参数化形式，五个负例各只动一处口径——降精度改用除法、插值后不归一化、逐项钳制、1/π 取 20860、albedo 四舍五入——每个都让 sha256 分叉，七个摘要两两不同，退化档复现卷二基线。
14.3 光照的调试视图
把光照拆成环境 / 漫反射 / 镜面 / 衰减四张灰度图，再加一张合成图。故意把衰减写成 r²/(r²+d)（分母忘了平方），衰减通道 43731/43731 个像素全变、最大差 47042，而环境 / 漫反射 / 镜面三通道逐字节相同——缺陷被精确定位到衰减那一行。
14.2 光照的批处理与代价
点光源衰减改成有限支撑的 (r²−d²)/(r²+d²)，才让「哪些光源影响哪个像素」成为一条整数谓词。两级剔除：逐像素距离阈值 + 16×16 网格分桶。N=64 时循环 3031360→380842、完整求值恒为 72576、两版逐字节相同；代价模型 25702400→4498256 ops（比例 0.1750）。
14.1 光源类型与表示
三种光源共用一套光照方向构造与衰减接口：方向光无衰减、点光源 r²/(r²+d²)、聚光再乘锥软化。同一场景下受光像素 959.8‰ / 953.3‰ / 70.1‰；衰减的两种整数写法在 178/1280 个距离上分叉、最大差 1 个 Q16.16，d=range 处恰好 0.5。
13.3 材质的数据驱动
一份材质表 JSON 驱动三种宿主：Python 建材质对象、TypeScript 建同构对象、HTML 内联同一条材质。三处解析的六个字段逐字段相同（对账表 S/W/P 三列一致），规范 digest c456c8c1… 两侧相同；改一个字段后帧 digest 与内联值同步变化，四次扰动全部同步。
13.2 着色变体
材质的每个开关都让着色器分叉：4 开关理论 16 组合、实际只用 9；8 开关理论 256、实际 23，爆炸比 11.13×。变体键用整数位编码去重，与 frozenset、关键词串去重同数；键漏掉 shadow 位则去重数从 9 塌缩到 7。逐个渲染实际变体，不同键必给不同帧。
13.1 材质的表示与继承
材质是六个定点参数而非浮点结构体。继承用不动点松弛解析，与输入顺序无关：叶子 gold_trim_dark 逐字段来源确定，解析 digest 074b01f1… 在打乱输入后不变，自指父指针报错；叶子材质驱动一帧，改被继承字段帧变、改旁系帧不变。
11.3 抗锯齿的度量
把「哪个抗锯齿方案更好」写成一条可复算的判据：先用参考解的梯度阈值圈出边缘像素，只在边缘上算 MAE，再配上 PSNR。64×64 圆盘的 296 个边缘像素上，无抗锯齿 → 4 spp SSAA → 8 帧 TAA → 16 spp SSAA 三级判据全部成立，而把覆盖率乘 0.5 的错实现被同一条判据拒绝。
11.2 抖动与蓝噪声
抖动不减少量化误差，它把误差从低频的「带状」搬到高频的「噪声」。本节把 0..255 的斜坡量化到 8 级，比较无抖动、Bayer 有序抖动、Floyd–Steinberg 误差扩散与 16×16 蓝噪声：总误差几乎不变，低频带状分量从 6.4844 压到 1.2 上下；蓝噪声更把阈值矩阵的低频功率占比压到同尺寸白噪声的 1/243。
11.1 时间抗锯齿
时间抗锯齿的全部机制可以压成三个整数：帧间权重 w = ONE//(k+1)、确定性的 Halton 子像素抖动、历史帧的 3×3 邻域裁剪。本节在解析圆盘上实测——静止相机下 1→16 帧的 MAE 从 1.9163 收敛到 0.3881；每帧微动 0.25 px 时，裁剪把重影误差从 9.2405 压到 4.929。
1.3 着色频率与插值
同一份场景、同一套顶点变换、同一个 Lambert 公式，只把「插值颜色」换成「插值法线再逐像素求值」：覆盖掩码与深度缓冲逐像素相同（几何封版），颜色却有 41261 个像素不同（537.2526‰），MAE 3.5764、PSNR 37.06 dB、最大通道差 48。
1.2 Phong 与高光
Phong 高光要构造反射向量 R = 2(N·L)N − L 再算 R·V 的幂次，Blinn-Phong 改用半步向量 H。本节用 66 个观察方向实测两者的叶宽、最大差与运算量，把 x^32 的平方链（5 次 fmul）与 31 次逐次相乘逐位比对，并推翻「Blinn-Phong 不会照亮背面」这句流传很广的话。
1.1 Lambert 与漫反射
卷一封版了几何到像素的骨架，卷二只换着色环节。本节从 N·L 的几何含义出发，把 Lambert 漫反射写成纯整数点积加一次算术右移：66 个方向实测受光 30、背光 36，去掉 max(0, N·L) 后出现 81 个负通道，而钳制版所有通道落在 [0, 200]。
《计算机图形学》卷二《着色、光照与纹理》附录 A · 着色公式、材质参数表与数据集索引
《计算机图形学》卷二《着色、光照与纹理》附录 A：全卷共用的 Q16.16 定点常数表（1/π、9/π、3/π）、逐像素层的量级上界推导、六个着色公式的整数形式速查（Lambert、Phong、Blinn-Phong、GGX、Smith、Schlick）、材质参数表、能量守恒残差汇总，以及各章产物的数据集索引与复现命令。所有数字来自本机实跑。