Elo 与 Glicko-2 评分系统详解

（Ranking & Matchmaking Rating Systems Deep Dive）

一、背景与意义（Background & Motivation）

在任何竞技型游戏中，无论是 PvP（如团队占点、射击）还是 PvE（排行榜挑战），都需要一个衡量玩家实力的量化模型。
目标是：

1. 量化实力（Skill Estimation）：让系统能知道谁强谁弱。
2. 驱动匹配（Matchmaking）：让匹配更公平（实力相近的玩家同场）。
3. 驱动进步（Progression）：让玩家看到成长（分数、段位）。
4. 支撑赛制（Tournament/Season System）：用于排名、奖励分配。

在长期的游戏史中，最经典的两套模型就是：

• Elo Rating System（艾洛体系）
• Glicko-2 Rating System（Glickman改进体系）

二、Elo 体系（Elo Rating System）

2.1 起源与原理

Elo 体系由匈牙利裔美国物理学家 Arpad Elo 于 1960 年代提出，最初用于国际象棋。
核心思想：玩家的评分代表其预期胜率，比赛结果与预期偏差越大，分数变化越大。

2.2 核心公式

（1）胜率预期（Expected Score）

对 A、B 两位选手：

$$
E_A = \frac{1}{1 + 10^{(R_B - R_A)/400}}
$$

$$
E_B = 1 - E_A
$$

其中：

• ( R_A, R_B )：两人的 Elo 评分；
• ( E_A )：A 的期望得分（概率 0~1）；
• 400 是常数，代表 400 分差≈胜率 10:1。

（2）实际得分（Actual Score）

• 胜利：( S = 1 )
• 平局：( S = 0.5 )
• 失败：( S = 0 )

（3）评分更新（Rating Update）

$$
R’_A = R_A + K \times (S_A - E_A)
$$

其中：

• ( K )：K 因子，代表调整速率（如 16、24、32 等）；
• ( S_A - E_A )：实际与期望差异；
• 若 A 胜 B：( R_A ) 上升，( R_B ) 下降。

2.3 示例

A 胜强敌涨分较多，B 负弱者掉分较多。

2.4 特点

✅ 优点：

• 简单、直观、易于计算；
• 参数少（仅需 K）；
• 可单场实时更新。

❌ 缺点：

• 未考虑不确定性（玩家活跃度差异）；
• 多人/团队模式不够精确；
• 新人初始化不稳定；
• 不区分“久未参赛”的退化（Rating Decay）。

三、Glicko 体系（Glicko System）

3.1 改进动机

Mark Glickman（美国统计学家）提出 Glicko，认为 Elo 体系“只给出一个点估计”，但不说明置信度。

因此，他引入两个关键变量：

1. RD（Rating Deviation）：评分偏差，衡量不确定性；
2. σ（Volatility）：评分波动率，衡量玩家状态变化速度。

3.2 Glicko-1 概念（基础版）

（1）三个核心量：

• ( R )：当前评分；
• ( RD )：评分偏差；
• ( σ )：波动率（在 Glicko-1 固定为常数）。

RD 初始约 350，越小代表玩家实力越确定。

（2）基本思想

• 每局结束后，根据对手分数与偏差计算新的 ( RD’ )；
• 久不参赛，( RD ) 会逐渐上升（系统“不再确定你多强”）。

3.3 Glicko-2 体系（进化版）

Glicko-2 在 2001 年提出，是当前最主流的竞技体系（LoL、CS2、Overwatch 等都基于变体）。
相较 Elo：

3.4 Glicko-2 公式详解

以下使用 Glickman 官方符号（数学标准版）。

（1）变量定义

• ( r )：评分（以中值 1500 为中心）
• ( RD )：评分偏差
• ( σ )：波动率（0.05~0.35）
• ( q = \ln(10)/400 )

为简化计算，通常先将分数标准化：
$$
μ = (r - 1500) / 173.7178, \quad φ = RD / 173.7178
$$

（2）对每个对手 ( j )：

• 对手的评分 ( μ_j )
• 对手的偏差 ( φ_j )
• 比赛结果 ( s_j \in {0, 0.5, 1} )

计算修正因子：
$$
g(φ_j) = \frac{1}{\sqrt{1 + 3 q^2 φ_j^2 / π^2}}
$$

预期得分：
$$
E(μ, μ_j, φ_j) = \frac{1}{1 + e^{-g(φ_j)(μ - μ_j)}}
$$

（3）信息量（variance）

$$
v = \left[ \sum_j g(φ_j)^2 E_j (1 - E_j) \right]^{-1}
$$

（4）评分改变量 Δ

$$
Δ = v \sum_j g(φ_j)(s_j - E_j)
$$

（5）波动率更新（σ 更新）

波动率通过迭代法求出，解如下：
$$
f(x) = \frac{e^x(Δ^2 - φ^2 - v - e^x)}{2(φ^2 + v + e^x)^2} - \frac{x - \ln(σ^2)}{τ^2}
$$
用二分或牛顿法求出新 ( σ’ )。

其中 ( τ ) 是波动率变化约束（通常 0.5）。

（6）新偏差 φ’（RD 更新）

$$
φ’ = \frac{1}{\sqrt{\frac{1}{φ^2 + σ’^2} + \frac{1}{v}}}
$$

（7）新评分 μ'

$$
μ’ = μ + q φ’^2 \sum_j g(φ_j)(s_j - E_j)
$$

（8）反标准化

$$
r’ = 173.7178 × μ’ + 1500, \quad RD’ = 173.7178 × φ'
$$

3.5 空闲衰减（Rating Decay）

若玩家长时间不参赛（周期长度 ( t )），其 RD 自动膨胀：
$$
RD_t = \sqrt{RD_0^2 + σ^2 t}
$$
使得其评分置信度下降，重新参与时变化幅度会更大。

四、团队模式下的改进（Team Rating Models）

在 proto-012-team-domination 中，属于 2–3 队对抗，占点式团队赛，需要将个人 Elo/Glicko 扩展为团队。

4.1 团队 Elo（Team-Elo）

• 计算团队平均分 ( R_{team} = \frac{Σ R_i}{N} )
• 按 Elo 胜率公式计算团队期望值；
• 每个队员更新分数：
  $$
  R_i’ = R_i + K × w_i × (S - E)
  $$
  其中 ( w_i ) 为参与度权重（如击杀、得分、在点时间）。

使“核心贡献者涨分多、挂机者涨分少”。

4.2 团队 Glicko-2

同样可以取团队平均 μ, φ 后，计算团队期望与 Δ。
每名玩家的更新权重按表现比重分配。
公式保持一致，仅把每局视为“团队 vs 团队”。

4.3 混合模式（Hybrid Rating）

对于 SLG / 团队塔防 / 占点类游戏，可采用：

• Elo + 内部绩效系数（Skill = Rating × Performance）

• 或 Glicko2 + KPI加权，KPI 包括：

  • 参与占点时间比例；
  • 击杀/死亡比；
  • 支援次数；
  • 经济贡献。

最终：
$$
Δ_i = BaseΔ × \frac{P_i}{Σ P}
$$
实现团队胜利共享，个人表现差异化奖励。

五、系统实现（Implementation in Server）

5.1 数据结构设计

CREATE TABLE player_rating (
    player_id    BIGINT PRIMARY KEY,
    rating       FLOAT DEFAULT 1500,
    rd           FLOAT DEFAULT 350,
    volatility   FLOAT DEFAULT 0.06,
    last_match   TIMESTAMP,
    total_games  INT DEFAULT 0
);

比赛结果日志：

CREATE TABLE match_result (
    match_id     BIGSERIAL PRIMARY KEY,
    team_a_score INT,
    team_b_score INT,
    winner       CHAR(1),
    created_at   TIMESTAMP DEFAULT now()
);

CREATE TABLE match_participant (
    match_id     BIGINT,
    player_id    BIGINT,
    team         CHAR(1),
    performance  FLOAT,
    result       FLOAT,   -- 1/0.5/0
    rating_before FLOAT,
    rating_after  FLOAT
);

5.2 服务端计算流程（伪代码）

func UpdateRatings(match MatchResult) {
    teams := aggregateTeams(match.Participants)

    // 1. 计算团队平均 rating, rd
    for team in teams {
        team.mu, team.phi = average(team.players)
    }

    // 2. 计算预期胜率
    E_A := 1 / (1 + math.Pow(10, (teamB.mu - teamA.mu)/400))
    E_B := 1 - E_A

    // 3. 计算团队得分 S (1,0.5,0)
    S_A, S_B := getResults(match)

    // 4. 计算团队 Δ, v, σ'
    deltaA := computeDelta(teamA, teamB, S_A, E_A)
    sigmaA := updateVolatility(teamA, deltaA)

    // 5. 更新每位成员 rating, rd
    for player in teamA.players {
        w := player.performance / teamA.totalPerf
        player.rating = glickoUpdate(player, teamA, teamB, deltaA, sigmaA, w)
    }
}

5.3 匹配算法（Matchmaking）

基于评分区间 ±RD 计算实力范围：

$$
SkillRange = [R - 2×RD, R + 2×RD]
$$

匹配时：

• 两队平均分差 ≤ 100；
• RD 差 ≤ 50；
• 允许根据等待时间逐步放宽（每 5s +20）。

六、可视化与段位划分（Rank Visualization）

为便于玩家理解，需要将抽象的数值映射为段位。

6.1 段位区间（例）

Glicko-2 可使用 ( R - 2×RD ) 作为“保守评分”来决定段位，避免波动频繁。

6.2 可视化界面建议

• 进度条：显示距离下/上一级段位的分差；
• 置信度环：以 RD 大小表示稳定度；
• 波动动画：比赛后分数浮动曲线；
• 赛季面板：展示赛季最高分、稳定期、退化提示。

七、赛季与衰减机制（Seasons & Decay）

• 赛季周期：每 60~90 天清算；
• 软重置：
  $$
  R_{new} = 1500 + (R_{old} - 1500) × 0.75
  $$
  ( RD_{new} = \min(350, RD_{old} × 1.5) )
• 退化机制：若 30 天未参赛，( RD += σ×30 )；
• 赛季奖励：根据最高段位或平均分发放（称号/皮肤/货币）。

八、性能与扩展（Performance & Scaling）

在 proto-012-team-domination 场景中：

• 每场玩家≤16，Glicko-2 的性能完全可接受；
• 使用浮点缓存，周期性批量更新到数据库；
• 支持离线计算、夜间异步聚合（Daily Rating Job）。

九、日志与指标（Metrics）

十、实例分析：三场比赛演进

可见随着 RD 下降，分数波动变小——系统对玩家实力越来越有信心。

十一、服务端与日志一体化架构图

graph TD
A["Match Result Engine"] --> B["Rating Update Service"]
B --> C["Player DB (rating, rd, sigma)"]
B --> D["Match Logs (performance, details)"]
C --> E["Matchmaker"]
E --> A
C --> F["Analytics / Leaderboard"]
F --> G["Season Reset Job"]

数据闭环：比赛结果 → 评分更新 → 匹配优化 → 排行榜 → 赛季清算。

十二、常见问题（FAQ）